Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+ax，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），
（1）設(shè)曲線y=f（x）在x=1處的切線與直線（e-1）x-y=1平行，求a的值；
（2）若對于任意實數(shù)x≥0，f（x）＞0恒成立，試確定實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求a的值；
（2）當x=0時，對任意實數(shù)a，f（x）=e^x＞0恒成立；當x＞0時，由f（x）＞0恒成立，分離參數(shù)a，然后構(gòu)造輔助函數(shù)h（x）=-

ex

x

，由導(dǎo)數(shù)求其最大值，則a的范圍可求．

解答： 解：（1）f'（x）=e^x+a，…（2分）
因此y=f（x）在（1，f（1））處的切線l的斜率為e+a，…（3分）
又直線x+（e-1）y=1的斜率為e-1，…（4分）
∴e+a=e-1，
∴a=-1．…（6分）
（2）∵當x≥0時，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
∴先考慮x=0，此時，f（x）=e^x，a可為任意實數(shù)；   …（8分）
又當x＞0時，f（x）=e^x+ax＞0恒成立，
則a＞-

ex

x

恒成立，…（10分）
設(shè)h（x）=-

ex

x

，則h'（x）=

(1-x)ex

x2

，
當x∈（0，1）時，h'（x）＞0，h（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＜0，h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
故當x=1時，h（x）取得極大值，h（x）_max=h（1）=-e，…（12分）
∴要使x≥0，f（x）＞0恒成立，a＞-e，
∴實數(shù)a的取值范圍為（-e，+∞）．        …（14分）

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，考查了函數(shù)恒成立問題，訓(xùn)練了利用構(gòu)造函數(shù)法求解字母的范圍，解答的關(guān)鍵是熟練掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．