Question

3．已知函數(shù)f（x）=aln（1+x）-aln（1-x）-x-$\frac{x^3}{{3（1-{x^2}）}}$．
（1）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：$\frac{3}{2}$ln2+$\frac{5}{2}$ln$\frac{3}{2}$+…+（n+$\frac{1}{2}$）ln$\frac{n+1}{n}$＜n+$\frac{1}{12}$•$\frac{n}{（n+1）}$（n∈N^*）．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)數(shù)，利用判別式分類討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）先確定$\frac{1}{2}$ln$\frac{n+1}{n}$-$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{12（2n+1）（{n}^{2}+n）}$，裂項(xiàng)累加可得結(jié)論．

解答 （1）解：f′（x）=$\frac{-2{x}^{4}+（3-6a）{x}^{2}+6a-3}{3（1-{x}^{2}）^{2}}$，…（1分）
依題知f（0）=0，故f′（x）≤0，則a≤$\frac{1}{2}$．…（2分）
令g（x）=-2x²+（3-6a）x+6a-3，x∈（0，1]，△=（6a-3）（6a+5）
①-$\frac{5}{6}$$≤a≤\frac{1}{2}$，△≤0，此時(shí)g（x）≤0，故f′（x）≤0，而f（0）=0，所以-$\frac{5}{6}$$≤a≤\frac{1}{2}$符合題意．…（4分）
②a＜-$\frac{5}{6}$，△＞0，而g（x）對(duì)稱軸x=$\frac{3-6a}{4}$＞2，故g（x）在（0，1）單調(diào)遞增且g（1）=-2，則g（x）＜0，故f′（x）≤0，而f（0）=0，所以a＜-$\frac{5}{6}$符合題意．…（6分）
綜上，a≤$\frac{1}{2}$．…（7分）
（2）證明：由（1）知，當(dāng)a=$\frac{1}{2}$，0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，
即$\frac{1}{2}$ln$\frac{1+x}{1-x}$-x＜$\frac{{x}^{3}}{3（1-{x}^{2}）}$．…（8分）
令x=$\frac{1}{2n+1}$（n∈N^*），則$\frac{1}{2}$ln$\frac{n+1}{n}$-$\frac{1}{2n+1}$＜$\frac{1}{12（2n+1）（{n}^{2}+n）}$，（10分）
裂項(xiàng)累加（n+$\frac{1}{2}$）ln$\frac{n+1}{n}$-1＜$\frac{1}{12}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
所以$\frac{3}{2}$ln2+$\frac{5}{2}$ln$\frac{3}{2}$+…+（n+$\frac{1}{2}$）ln$\frac{n+1}{n}$＜n+$\frac{1}{12}$•$\frac{n}{（n+1）}$．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的關(guān)鍵．