Question

8．各項均為實數(shù)的等差數(shù)列的公差為2，其首項的平方與其余各項之和不超過33，則這樣的數(shù)列至多有7項．

Answer 1

分析 通過寫出首項的平方與其余各項之和的表達式，利用一個數(shù)的平方最小為0，化簡即可．

解答 解：${{a}_{1}}^{2}$+a₂+a₃+…+a_n=${{a}_{1}}^{2}$+n²+n（a₁-1）-a₁
=${{a}_{1}}^{2}$+（n-1）（a₁+n）
=${{a}_{1}}^{2}$+（n-1）a₁+n（n-1）
=（a₁+$\frac{n-1}{2}$）²+n（n-1）-$\frac{（n-1）^{2}}{4}$
=（a₁+$\frac{n-1}{2}$）²+$\frac{（n-1）（3n+1）}{4}$≤33，
為了使得n盡量大，故（a₁+$\frac{n-1}{2}$）²=0，
∴$\frac{（n-1）（3n+1）}{4}$≤33，
∴（n-1）（3n+1）≤132，
當n=6時，5×19＜132，
當n=7時，6×22=132，
∴n_max=7，
故答案為：7．

點評 本題考查求數(shù)列的項數(shù)，考查計算求解能力，注意解題方法的積累，屬于難題．