【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，、分別為的左、右頂點(diǎn)，直線與的斜率之積為，為橢圓的右焦點(diǎn)，直線.

（1）求橢圓的方程；

（2）直線過點(diǎn)且與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線、分別與直線交于、兩點(diǎn).試問：以為直徑的圓是否過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)，否則，請(qǐng)說明理由.

【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)和，理由見解析.

【解析】

（1）利用直線與的斜率之積為，得出，再由點(diǎn)在橢圓上，可求出的值，即可得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）由對(duì)稱性知，以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)、，求出、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出的值，由，結(jié)合韋達(dá)定理求出的值，即可得出定點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）點(diǎn)在橢圓上，則，①，

易知點(diǎn)、，

直線的斜率為，直線的斜率為，

由題意可得，解得，代入①式得，

因此，橢圓的方程為；

（2）易知，直線不能與軸重合.

由對(duì)稱性知，以為直徑的圓過軸上的定點(diǎn)，

設(shè)直線的方程為，點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)、，

如下圖所示：

易知點(diǎn)，，即，，

得，同理可得.

將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，

消去得，，.

由韋達(dá)定理得，，

，

，，

，解得或.

因此，以為直徑的圓過定點(diǎn)和.

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【題目】已知函數(shù)f（x）的定義域I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），在（0，+∞）上為增函數(shù)，且x1，x2∈I，恒有f（x1x2）＝f（x1）+f（x2）．

（1）求證：f（x）是偶函數(shù)：

（2）若f（m）﹣f（2m+1）＜3m2+4m+1，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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（1）求曲線，的極坐標(biāo)方程；

（2）在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)，射線與曲線，分別相交于異于極點(diǎn)的兩點(diǎn)，求的面積.

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【題目】已知四棱錐中，底面四邊形為平行四邊形，為的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且（如圖）.

（1）證明：平面；

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【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，若橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且△PF1F2的面積為2．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)斜率為1的直線與以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓交于A，B兩點(diǎn)，與橢圓C交于C，D兩點(diǎn)，且（），當(dāng)取得最小值時(shí)，求直線的方程.

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【題目】已知橢圓的離心率，且圓經(jīng)過橢圓C的上、下頂點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線l與橢圓C相切，且與橢圓相交于M，N兩點(diǎn)，證明：的面積為定值（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

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（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；

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（1）求與的值；

（2）設(shè)動(dòng)直線與拋物線相交于，兩點(diǎn)，問：在軸上是否存在與的取值無關(guān)的定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

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