Question

在直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓C₁：的離心率，F(xiàn)是拋物線C₂：y²=4x的焦點(diǎn)，C₁與C₂交于M，N兩點(diǎn)（M在第一象限），且|MF|=2．
（1）求點(diǎn)M的坐標(biāo)及橢圓C₁的方程；
（2）若過點(diǎn)N且斜率為k的直線l交C₁于另一點(diǎn)P，交C₂于另一點(diǎn)Q，且MP⊥MQ，求k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線方程可求得p值，設(shè)M（x，y），由拋物線定義及|MF|=2可得x+，解得x=1，進(jìn)而得y=2，由離心率e=及a²=b²+c²可得a，b關(guān)系，從而橢圓方程可變?yōu)楹琤的方程，把M坐標(biāo)代入即可求得b值，進(jìn)而得到a值；
（2）點(diǎn)N（1，-2），則直線l的方程為y+2=k（x-1），分別與橢圓方程、拋物線方程聯(lián)立消掉y、x得x、y的二次方程，由韋達(dá)定理可用k表示點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，從而可得向量的坐標(biāo)，由MP⊥MQ有，得關(guān)于k的方程，解出即可；
解答：
解：（1）拋物線C₂：y²=4x，2p=4，p=2，
設(shè)M（x，y），則|MF|=x+，解得x=1，所以y=2，即M（1，2），
橢圓C₁：的離心率，
得 ，，a=2b，
橢圓C₁：過點(diǎn)M（1，2），所以，
求得，，
所以橢圓C₁的方程是．
（2）點(diǎn)N（1，-2），直線l的方程為y+2=k（x-1），
與C₁：y²+4x²=8，聯(lián)立消去y得：4x²+（kx-k-2）²=8，
整理得（4+k²）x²-2k（k+2）x+k²+4k-4=0（i），
設(shè)P（x₁，y₁），易知1，x₁是方程（i）的兩根，x₁=，
代入直線l的方程得，
y+2=k（x-1）與y²=4x聯(lián)立消去x得：ky²-4y-4k-8=0（ii），
顯然k≠0，設(shè)點(diǎn)Q（x₂，y₂），易知-2，y₂是方程（ii）的兩根，-2•y₂=，
得，代入拋物線得，
故，M（1，2），
，
由MP⊥MQ有，即，
整理得k²+5k+2=0，解得．
點(diǎn)評：本題考查直線方程、橢圓和拋物線方程及其位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積運(yùn)算及韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查學(xué)生綜合解決問題的能力．