Question

15．如圖，己知E、F、G、H分別是三棱錐A-BCD的棱AB、BC、CD、DA的中點．
①求證：E、F、G、H四點共面
②若四邊形EFGH是矩形，求證，AC⊥BD．

Answer 1

分析 ①利用三角形中位線定理可知EH∥BD、GF∥BD，進(jìn)而四邊形EFGH為平行四邊形，即得結(jié)論；
②通過線面垂直的判定定理及性質(zhì)定理即得結(jié)論．

解答 證明：①依題意，EH為△ABD的中位線，
∴EH∥BD，
同理GF∥BD，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∴E、F、G、H四點共面；
②由①可知，EH∥BD、GF∥BD，
∵四邊形EFGH是矩形，
∴EH⊥AD、GF⊥CD，
∴BD⊥AD、BD⊥CD，
∴BD⊥平面ACD，
∴AC⊥BD．

點評 本題考查空間中線線之間的位置關(guān)系，注意解題方法的積累，屬于基礎(chǔ)題．