Question

關(guān)于函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，有下列結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；
②在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)y=f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
③函數(shù)f（x）的最小值為lg2；
④在區(qū)間（0，1）上，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)，其中正確的是

 

．

Answer 1

分析：函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，是一個(gè)對(duì)數(shù)型函數(shù)，其內(nèi)層函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，故研究這個(gè)函數(shù)的性質(zhì)，故只研究x＞0時(shí)的情況．觀察四個(gè)選項(xiàng)發(fā)現(xiàn)①是關(guān)于奇偶性的，②③④與單調(diào)性有關(guān)，故探究方向出現(xiàn)．

解答：解：觀察知函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，是一個(gè)對(duì)數(shù)型函數(shù)，其內(nèi)層函數(shù)是一個(gè)偶函數(shù)，故函數(shù)f(x)=lg

x2+1

|x|

(x≠0，x∈R)，是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，令x＞0，則f（x）=lg

x 2+1

x

=lg（x+

1

x

）≥lg2且在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)．下研究四個(gè)選項(xiàng)的正確性；'
①函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱是正確的，因?yàn)閥=f（x）是偶函數(shù)．
②在區(qū)間（-∞，0）上，函數(shù)y=f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)是不正確的，由偶函數(shù)的性質(zhì)知f（x）在（-∞，0）上不是單調(diào)函數(shù)．
③函數(shù)f（x）的最小值為lg2是正確的；由偶函數(shù)的性質(zhì)及上面的探究知，函數(shù)f（x）的最小值為lg2；
④在區(qū)間（0，1）上，函數(shù)f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)是正確的．
綜上知①③④是正確的．
故應(yīng)填①③④．

點(diǎn)評(píng)：本考點(diǎn)是對(duì)數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，考查了對(duì)數(shù)型函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性最小值等基本問題，題型設(shè)計(jì)得當(dāng)，考查全面．