Question

若數(shù)列{a_n}滿足：a₁=

2

3

，a_n+1-a_n=

2 3 (an+1+an)

，求數(shù)列的通項公式a_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：由首項和數(shù)列遞推式求出a₂，把遞推式兩邊平方，取n=n+1得另一遞推式，作差后得到新的等差數(shù)列
{a_n+1-a_n}，求出其通項公式利用累加法求數(shù)列的通項公式a_n．

解答： 解：取n=1，得a2-a1=

2 3 (a2+a1)

，
又a₁=

2

3

，
解得：a₂=2．
由a_n+1-a_n=

2 3 (an+1+an)

，得
(an+1-an)2=

2

3

(an+1+an)  ①
則(an+2-an+1)2=

2

3

(an+2+an+1)  ②
②-①得：(an+2-an)(an+2-2an+1+an)=

2

3

(an+2-an)，
由a_n+1-a_n=

2 3 (an+1+an)

知數(shù)列是遞增數(shù)列，
∴a_n+2-a_n≠0，
∴an+2-2an+1+an=

2

3

，
即(an+2-an+1)-(an+1-an)=

2

3

．
∴數(shù)列{a_n+1-a_n}是以a2-a1=2-

2

3

=

4

3

為首項，以

2

3

為公差的等差數(shù)列．
則an+1-an=

4

3

+

2

3

(n-1)=

2

3

(n+1)．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=

2

3

[n+(n-1)+(n-2)+…+2+1]=

2

3

•

(n+1)n

2

=

n(n+1)

3

．

點評：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了利用累加法求數(shù)列的通項公式，是中檔題．