Question

20．已知偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)，且f（-1）=$\frac{1}{2}$，若實數(shù)a滿足f（log_a3）+f（${log_a}\frac{1}{3}$）≤1，則實數(shù)a的取值范圍為a≥3，或0＜a≤$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性可得2f（log_a3）≤1，即f（log_a3）≤$\frac{1}{2}$=f（1），故有|log_a3|≤1，由此求得a的范圍

解答 解：偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上為增函數(shù)，且f（1）=$\frac{1}{2}$，
則函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0]上為減函數(shù)，且f（-1）=$\frac{1}{2}$，
若實數(shù)a滿足f（log_a3）+f（${log_a}\frac{1}{3}$）=f（log_a3）+f（-log_a3）=2f（log_a3）≤1，
∴f（log_a3）≤$\frac{1}{2}$=f（1），
∴|log_a3|≤1，
解得a≥3，或0＜a＜$\frac{1}{3}$，
故答案為：a≥3，或0＜a≤$\frac{1}{3}$

點評 本題主要考查抽象函數(shù)及其應用，函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的綜合應用，屬于中檔題．