Question

【題目】在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且bcosC=（3a﹣c）cosB．D為AC邊的中點(diǎn)，且BD=1，則△ABD面積的最大值為 ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵bcosC=（3a﹣c）cosB，

∴利用正弦定理化簡(jiǎn)得：（3sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，

整理得：3sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosB= ，可得sinB= ，

∵點(diǎn)D為邊AC的中點(diǎn)，

∴2 = + ，

∴兩邊平方可得：4| |2=| |2+2| || |cos∠ABC+| |2

設(shè)| |=c，| |=a，可得：4=a2+c2+ ac≥ac，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），

∴ac≤ ，（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），

∴S△ABC= acsin∠ABC≤ × × = （當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），

∴S△ABD= S△ABC= ．（當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立），

∴當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)，△ABD面積的最大值為 ．

【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解正弦定理的定義的相關(guān)知識(shí)，掌握正弦定理:．