Question

已知函數(shù)f(x)=(a-

1

2

)x2+lnx（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求f（x）的極值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a(bǔ)=1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)在x∈[1，e]上大于0得到函數(shù)的單調(diào)性，由單調(diào)性求得最值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a的取值范圍討論導(dǎo)函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，由函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的極值點(diǎn)并求得極值．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=

1

2

x2+lnx，f′(x)=x+

1

x

=

x2+1

x

對(duì)于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，∴f（x）在區(qū)間[1，e]上為增函數(shù)，
∴fmax(x)=f(e)=1+

e2

2

，fmin(x)=f( 1 )=

1

2

；
（Ⅱ）f′(x)=(2a-1)x+

1

x

=

(2a-1)x2+1

x

，（x＞0）．
①當(dāng)2a-1≥0，即a≥

1

2

時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞增函數(shù)．
故f（x）無(wú)極值點(diǎn)．
②當(dāng)2a-1＜0，即a＜

1

2

時(shí)．令f′（x）=0，得x1=

1 1-2a

，x2=-

1 1-2a

，（舍去）
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0， 1 1-2a )	1 1-2a	（ 1 1-2a ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	極大值	↘

由上表可知，x=

1 1-2a

時(shí)，f_極大值（x）=-

1

2

-

1

2

ln（1-2a）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過(guò)比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點(diǎn)函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的．考查了函數(shù)取得極值的條件，是中檔題．