Question

【題目】某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路和山區(qū)邊界的直線型公路．記兩條相互垂直的公路為，山區(qū)邊界曲線為．計(jì)劃修建的公路為，如圖所示，為的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)到的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)到的距離分別為20千米和2．5千米，以所在直線分別為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．假設(shè)曲線符合函數(shù)（其中為常數(shù)）模型．

（1）求的值；

（2）設(shè)公路與曲線相切于點(diǎn)，的橫坐標(biāo)為．

①請(qǐng)寫出公路長(zhǎng)度的函數(shù)解析式，并寫出其定義域；

②當(dāng)為何值時(shí)，公路的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②當(dāng)時(shí)，公路的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為千米．

【解析】

試題分析：（1）由題意得分別為

；（2）①由（1）知 ，求導(dǎo)得

；；

②設(shè)，令，利用導(dǎo)數(shù)工具可得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，此時(shí)．

試題解析：

（1）由題意知，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為．

將其分別代入，得，解得．

（2）①由（1）知，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)在點(diǎn)處的切線交軸分別交于點(diǎn)，，

則的方程為，由此得．

故

②設(shè)，則，令，解得．

當(dāng)時(shí)，，是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)．

從而，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極小值，也是最小值，所以，

此時(shí)，

答：當(dāng)時(shí)，公路的長(zhǎng)度最短，最短長(zhǎng)度為千米