Question

13．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，滿足$2{S_n}={a_n}+{a_n}^2$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜1．

Answer 1

分析 （1）通過(guò)題意易得$2{S_n}={a_n}+{a_n}^2$，遞推其關(guān)系可得數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列，計(jì)算即可；
（2）通過(guò)（1）可得b_n=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，利用裂項(xiàng)相消法即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）由已知：對(duì)于n∈N^*，總有$2{S_n}={a_n}+{a_n}^2$ （①）   成立，
∴$2{S_{n-1}}={a_{n-1}}+{a_{n-{1^{\;}}}}^2$（n≥2）（②）
①-②得$2{a_n}={a_n}+{a_n}^2-{a_{n-1}}-{a_{n-1}}^2$，
∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），
∵a_n，a_n-1均為正數(shù)，∴a_n-a_n-1=1（n≥2），
∴數(shù)列{a_n}是公差為1的等差數(shù)列．
又n=1時(shí)，$2{S_1}={a_1}+{a_1}^2$，解得a₁=1，
∴a_n=n．（n∈N^*）；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴T_n=1$-\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
=$1-\frac{1}{n+1}$＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系，通項(xiàng)公式，考查裂項(xiàng)相消法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．