Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

3an

an+3

（1）數(shù)列{

1

an

}是否為等差數(shù)列？說(shuō)明理由；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明．
（2）根據(jù)等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式即可求出數(shù)列{a_n}通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）∵a₁=1，a_n+1=

3an

an+3

，
∴兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

=

an+3

3an

=

1

an

+

1

3

，
即

1

an+1

-

1

an

=

1

3

，
則數(shù)列{

1

an

}是公差d=

1

3

的等差數(shù)列，首項(xiàng)為

1

a1

=1．
（2）∵數(shù)列{

1

an

}是公差d=

1

3

的等差數(shù)列，首項(xiàng)為

1

a1

=1．
∴

1

an

=1+

1

3

（n-1）=

n+2

3

，
故a_n=

3

n+2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用取倒數(shù)法，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．