Question

11．已知點F₁，F(xiàn)₂為雙曲線C：x²-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦點，過F₂作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點M，且∠MF₁F₂=30°，圓O的方程為x²+y²=b²．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）過圓O上任意一點Q（x₀，y₀）作切線l交雙曲線C于A，B兩個不同點，AB中點為N，求證|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{ON}$|．

Answer 1

分析 （1）確定|MF₂|=b²，|MF₁|=2b²，由雙曲線的定義可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2，從而可得雙曲線C的方程；
（2）分類討論：①當(dāng)切線l的斜率存在，設(shè)切線l的方程代入雙曲線C中，利用韋達(dá)定理，結(jié)合直線l與圓O相切，可得|AB|=2|ON|成立；②當(dāng)切線l的斜率不存在時，求出A，B的坐標(biāo)，即可得到結(jié)論．

解答 （1）解：設(shè)F₂，M的坐標(biāo)分別為（$\sqrt{1+^{2}}$，0），（$\sqrt{1+^{2}}$，y₀）
因為點M在雙曲線C上，所以1+b²-$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{^{2}}$=1，即y₀=±b²，所以|MF₂|=b²，
在Rt△MF₂F₁中，∠MF₁F₂=30°，|MF₂|=b²，所以|MF₁|=2b²…（2分）
由雙曲線的定義可知：|MF₁|-|MF₂|=b²=2
故雙曲線C的方程為：${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$…（4分）
（2）證明：由題意，即證：OA⊥OB．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），切線l的方程為：x₀x+y₀y=2…（11分）
①當(dāng)y₀≠0時，切線l的方程代入雙曲線C中，化簡得：（2y₀²-x₀²）x²+4x₀x-（2y₀²+4）=0
所以：x₁+x₂=-$\frac{4{x}_{0}}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{2{{y}_{0}}^{2}+4}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$
又y₁y₂=$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$…（13分）
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=-$\frac{2{{y}_{0}}^{2}+4}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$+$\frac{8-2{{x}_{0}}^{2}}{2{{y}_{0}}^{2}-{{x}_{0}}^{2}}$=0…（15分）
②當(dāng)y₀=0時，易知上述結(jié)論也成立．  
所以$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0…（16分）
綜上，OA⊥OB，所以|$\overrightarrow{AB}$|=2|$\overrightarrow{ON}$|．

點評 本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運用，考查向量知識，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．