Question

2．已知$\frac{z-1}{z+1}$為純虛數(shù)，且（z+1）（$\overline{z}$+1）=|z|²，求復數(shù)z．

Answer 1

分析 設$\frac{z-1}{z+1}$=mi（m∈R且m≠0），求出復數(shù)z，代入（z+1）（$\overline{z}$+1）=|z|²求得m的值，則復數(shù)z可求．

解答 解：設$\frac{z-1}{z+1}$=mi（m∈R且m≠0），則$z=\frac{1-{m}^{2}}{1+{m}^{2}}+\frac{2mi}{1+{m}^{2}}$，
又（z+1）（$\overline{z}$+1）=|z|²，得$|z{|}^{2}+z+\overline{z}+1=|z{|}^{2}$，
∴z+$\overline{z}=1$，即$\frac{2-2{m}^{2}}{1+{m}^{2}}=1$，解得：$m=±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
當m=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，$z=\frac{1-\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}+\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}i}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$；
當m=$-\frac{\sqrt{3}}{3}$時，$z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$．

點評 本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復數(shù)的基本概念，考查了復數(shù)相等的條件，是基礎的計算題．