【題目】設(shè)，若無(wú)窮數(shù)列滿足：對(duì)所有整數(shù)，都成立，則稱“-折疊數(shù)列”.

（1）求所有的實(shí)數(shù)，使得通項(xiàng)公式為的數(shù)列是-折疊數(shù)列；

（2）給定常數(shù)，是否存在數(shù)列，使得對(duì)所有，都是-折疊數(shù)列，且的各項(xiàng)中恰有個(gè)不同的值？證明你的結(jié)論；

（3）設(shè)遞增數(shù)列滿足.已知如果對(duì)所有，都是-折疊數(shù)列，則的各項(xiàng)中至多只有個(gè)不同的值，證明：.

【答案】（1）或；（2）存在，證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題中所給定義，列方程討論的取值可得出結(jié)果；

（2）只需列舉出例子即可證明，結(jié)合定義，數(shù)列的圖象有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸，可聯(lián)想三角函數(shù)；

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論利用數(shù)學(xué)歸納法即可證明.

（1）要使通項(xiàng)公式為的數(shù)列是“-折疊數(shù)列”，只需.

①當(dāng)時(shí)，，顯然成立；

②當(dāng)時(shí)，上式可化為，則，，.

綜上所述，或；

（2）對(duì)于給定的，都是“-折疊數(shù)列”，故數(shù)列的圖象有多條對(duì)稱軸，其中都是數(shù)列的圖象的對(duì)稱軸，

設(shè)，由，得對(duì)稱軸為，且數(shù)列的周期為，

滿足給定常數(shù)，使得對(duì)所有的，都是“-折疊數(shù)列”，

是周期數(shù)列，且周期為，在這個(gè)周期內(nèi)，為對(duì)稱軸，

故對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)與對(duì)應(yīng)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)相等，

，，在上單調(diào)遞增，，

故各項(xiàng)中共有個(gè)不同的取值.

綜上所述，給定常數(shù)，存在數(shù)列，使得對(duì)所有，都是“-折疊數(shù)列”，且的各項(xiàng)中恰有個(gè)不同的取值；

（3）由（2）知，且，即.

故要證原不等式成立，只需證，只需證.

①當(dāng)時(shí)，不等式顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)時(shí)，有成立，

則當(dāng)時(shí)，，

故當(dāng)時(shí)，不等式成立.

綜上所述，.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如果存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足：若是數(shù)列中的一項(xiàng)，則也是數(shù)列 中的一項(xiàng)，稱數(shù)列為“兌換數(shù)列”，常數(shù)是它的“兌換系數(shù)”.

（1）若數(shù)列：是“兌換系數(shù)”為的“兌換數(shù)列”，求和的值；

（2）已知有窮等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)是，所有項(xiàng)之和是，求證：數(shù)列是“兌換數(shù)列”，并用和表示它的“兌換系數(shù)”；

（3）對(duì)于一個(gè)不小于3項(xiàng)，且各項(xiàng)皆為正整數(shù)的遞增數(shù)列，是否有可能它既是等比數(shù)列，又是“兌換數(shù)列”？給出你的結(jié)論，并說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

(Ⅰ)若的值域?yàn)?/span>，求的值；

(Ⅱ)巳，是否存在這祥的實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn).若存在，求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝2x，g（x）＝x2＋ax（其中a∈R）.對(duì)于不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，設(shè)m＝，n＝，現(xiàn)有如下命題：

①對(duì)于任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有m＞0；

②對(duì)于任意的a及任意不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，都有n＞0；

③對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝n；

④對(duì)于任意的a，存在不相等的實(shí)數(shù)x1，x2，使得m＝－n.

其中真命題有___________________（寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在處的切線方程；

（2）是否存在非負(fù)整數(shù)，使得函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）已知，若存在，使得當(dāng)時(shí)，的最小值是，求實(shí)數(shù)的取值范圍.（注：自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.若曲線的極坐標(biāo)方程為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，在平面直角坐標(biāo)系中，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為.

（1）寫(xiě)出曲線的直角坐標(biāo)方程以及點(diǎn)的直角坐標(biāo)；

（2）設(shè)直線與曲線相交于，兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的定義域；

（2）若判斷的奇偶性；

（3）是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)在[2,3]遞增，并且最大值為1，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知數(shù)列滿足：，，且、、成等差數(shù)列，其中.

（1）求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足等式：（），求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）在（2）的條件下，問(wèn)：是否存在這樣的正數(shù)，可以確保恰有5個(gè)自然數(shù)使得不等式成立？若存在，求的取值范圍，若不存在，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)g（x）=-2x+3．

（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的極值；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）若-2≤a≤-1，對(duì)任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求實(shí)數(shù)t的最小值．

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