Question

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對任意的實數(shù)x滿足f（2+x）=f（2-x），若x≥2時，f（x）=2^x
（1）求f（0），f（-1）的值，并求f（x）的解析式．
（2）當x∈[-1，t]，求函數(shù)f（x）的最大值．
（3）解關于x的不等式f（x+3）＞f（3x-1）．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應用,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由題意得函數(shù)的圖象關于直線x=2對稱，繼而求出f（0），f（-1）的值和f（x）的解析式．
（2）需要分類討論，當-1＜t＜5時，和當t≥5時，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得最值．
（3）由（1）原不等式轉(zhuǎn)化為|x+3-2|＞|3x-1-2|，解得即可．

解答： 解：（1）∵f（2+x）=f（2-x），
∴函數(shù)的圖象關于直線x=2對稱，
∴f（0）=f（4）=16，f（-1）=f（5）=32
當x＜2時，f（x）=f（4-x）=2^4-x，
所以f(x)=

24-x，x＜2 2x，x≥2

，
（2）當-1＜t＜5時，f（x）_max=f（-1）=32，
當t≥5時，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，故f（x）_max=f（t）=2^t，
（3）由（1）可知，不等式f（x+3）＞f（3x-1）轉(zhuǎn)化為
即解|x+3-2|＞|3x-1-2|，
兩邊平方整理得2x²-5x+2＜0，
解得x∈(

1

2

，2)

點評：本題主要考查了函數(shù)的解析式的求法和利用函數(shù)的單調(diào)性求最值以及不等式的解法，屬于中檔題．