Question

設(shè)a＞0當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，函數(shù)y=-x²-ax+b+1的最小值是-4，最大值是0，求a，b的值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=-x²-ax+b+1的對(duì)稱軸是x=-

a

2

＜0，所以討論-

a

2

和-1的關(guān)系，從而求出函數(shù)y在[-1，1]上的用a，b表示的最大值和最小值，根據(jù)已知的最大值0，最小值-4，即可建立關(guān)于a，b的方程組，解方程組即得a，b的值．

解答： 解：y=-x2-ax+b+1=-(x+

a

2

)2+

a2

4

+b+1；
（1）若-

a

2

≤-1，即a≥2時(shí)，函數(shù)y在[-1，1]上單調(diào)遞減；
∴該函數(shù)的最小值是b-a=-4；最大值是a+b=0，兩式聯(lián)立即得a=2，b=-2；
（2）若-1＜-

a

2

＜0，即0＜a＜2時(shí)，x=-

a

2

時(shí)，函數(shù)y取最大值

a2

4

+b+1=0   ①；
又f（-1）=a+b，f（1）=-a+b，f（1）＜f（-1），∴函數(shù)y的最小值是-a+b=-4   ②；
①②兩式聯(lián)立解得a=2，b=-2，不符合0＜a＜2，∴這種情況不存在；
綜上得a=2，b=-2．

點(diǎn)評(píng)：考查二次函數(shù)最值的求法，討論對(duì)稱軸在求最值的區(qū)間內(nèi)和區(qū)間外．