Question

在銳角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B的對邊長分別是a、b，則

b

b+a

的取值范圍是（　�。�

• A、（

  1

  3

  ，1）
• B、（

  1

  3

  ，

  2

  -1）
• C、（

  3 -1

  2

  ，

  2

  -1）
• D、（

  3 -1

  2

  ，

  1

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理

專題：解三角形

分析：先根據(jù)三角形為銳角三角形和A與B的2倍關(guān)系，求得B的范圍，進(jìn)而利用正弦定理對

b

b+a

變形整理獲得cosB的表達(dá)式，根據(jù)B的范圍求得答案．

解答： 解：∵∠A=2∠B，
∴∠A+∠B+∠C=3∠B+∠C＜π
∴0＜∠B＜

π

3

，①
∵∠C=π-3∠B＜

π

2

，
∴∠B＞

π

6

，②
∵∠A=2∠B＜

π

2

，
∴∠B＜

π

4

③
綜合①②得

π

6

＜∠B＜

π

4

，
由正弦定理知

b

b+a

=

sinB

sinB+sinA

=

1

1+ sinA sinB

=

1

1+ sin2B sinB

=

1

1+ 2sinBcosB sinB

=

1

1+2cosB

，
∵

π

6

＜∠B＜

π

4

，
∴

2

2

＜cosB＜

3

2

，
∴

3 -1

2

＜

1

1+2cosB

＜

2

-1，
故選C．

點(diǎn)評：本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是判斷出B的范圍，這里也是容易出錯(cuò)的地方．