Question

已知曲線y=x²-2x+3與直線y=x+3相交于點P（0，3）、Q（3，6）兩點．
（1）分別求出曲線在交點的切線的斜率；
（2）求出曲線與直線所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析：（1）函數y=f（x）在某點的導數值即為在該點的斜率，所以只要求出該點的導數值即可．
（2）求圖形的面積，根據圖形只要求出梯形OAQP的面積與曲邊梯形OAQP的面積，求曲邊梯形OAQP的面積，用定積分求，再求它們之差即可．

解答：解：（1）∵y=x²-2x+3，
∴y′=2x-2，
∴過點（0，3）的切線斜率
k₁=y′|_x=0=-2．
過點（3，6）的切線斜率
k₁=y′|_x=3=4．

（2）設所求的帶陰影的圖形的面積為S，則S為梯形OAQP的面積與曲邊梯形OAQP的面積的差．
而梯形OAQP的面積=

1

2

(OP+AQ)•OA=

27

2

．
曲邊梯形OAQP的面積=

∫

3 0

(x2-2x+3)dx=(

1

3

x3-x2+3x)|_3=9
∴S=

27

2

-9=4.5．

答：（1）過點（0，3）的切線斜率為-2．過點（3，6）的切線斜率為4．
（2）曲線與直線所圍成的圖形的面積為4.5．

點評：函數y=f（x）在某點的導數值即為在該點的斜率，過（x．y．）點的切線方程為：y-y．=y'|_x=x．（x-x．）；
求曲邊梯形的面積，常用定積分求．