Question

已知圓錐母線長為6，底面圓半徑長為4，點M是母線PA的中點，AB是底面圓的直徑，底面半徑OC與母線PB所成的角的大小等于θ．
（1）當θ=60°時，求異面直線MC與PO所成的角的余弦值；
（2）當三棱錐M-ACO的體積最大時，求θ的值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,異面直線及其所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）首先，作輔助線：連MO，過M作MD⊥AO交AO于點D，連DC，然后，得到∠DMC或其補角即為所求，最后，求解即可；
（2）借助于體積公式，分析得到：當OC⊥OA時，△OCA的面積最大，進一步求解即可．

解答： 解：（1）連MO，過M作MD⊥AO交AO于點D，連DC．
又PO=

62-42

=2

5

，∴MD=

5

．又OC=4，OM=3．
∵MD∥PO，∴∠DMC等于異面直線MC與PO所成的角或其補角．
∵MO∥PB，∴∠MOC=60°或120°．
當∠MOC=60°時，
∴MC=

13

．
∴cos∠DMC=

MD

MC

=

65

13

，
當∠MOC=120°時，
∴MC=

37

．
∴cos∠DMC=

MD

MC

=

185

37

，
綜上，異面直線MC與PO所成的角余弦值等于
cos∠DMC=

MD

MC

=

185

37

或cos∠DMC=

MD

MC

=

65

13

．
（2）∵三棱錐M-ACO的高為MD且長為

5

，
要使得三棱錐M-ACO的體積最大只要底面積△OCA的面積最大．
而當OC⊥OA時，△OCA的面積最大．
又OC⊥OP，此時OC⊥平面PAB，
∴OC⊥PB，θ=90°．

點評：本題重點考查了異面直線所成的角、棱錐的體積計算、空間中垂直關(guān)系和平行關(guān)系等知識，屬于中檔題．