Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

2x+1

x

（x＞0），數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n=f（

1

an-1

）（x∈N^*，且n≥2）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍；
（3）是否存在以a₁為首項(xiàng)，公比為q（0＜q＜5，q∈N^*）的等比數(shù)列{a nk}，k∈N^*，使得數(shù)列{a nk}中每一項(xiàng)都是數(shù)列{a_n}中不同的項(xiàng)，若存在，求出所有滿足條件的數(shù)列{n_k}的通項(xiàng)公式；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n=f（

1

an-1

），f（x）=

2x+1

x

（x∈N^*，且n≥2），知a_n-a_n-1=2．再由a₁=1，能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)n=2m，m∈N^*時(shí)，T_n=-2n（n+1）；當(dāng)n=2m-1，m∈N^*時(shí)，T_n=2n²+6n+3，由此入手能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．
（3）由a_n=2n-1，知數(shù)列{a_n}中每一項(xiàng)都是奇數(shù)．當(dāng)q=1時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列{a_nk}．當(dāng)q=3時(shí)，an1=1，n₁=1，所以ank=3^k-1=2n_k-1，可得滿足條件的數(shù)列{n_k}的通項(xiàng)公式．

解答： 解：（1）因?yàn)閍_n=f（

1

an-1

），f（x）=

2x+1

x

（x∈N^*，且n≥2），
所以a_n-a_n-1=2．
因?yàn)閍₁=1，
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．
所以a_n=2n-1；
（2）①當(dāng)n=2m，m∈N^*時(shí)，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-4（a₂+a₄+…+a_2m）=-4（2m+1）m=-2n（n+1）；
②當(dāng)n=2m-1，m∈N^*時(shí)，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=2n²+6n+3
要使T_n≥tn²對(duì)n∈N^*恒成立，
只要使-2n（n+1）≥tn²，（n為偶數(shù)）恒成立．
只要使-2（1+

1

n

）≥t，對(duì)n為偶數(shù)恒成立，
故實(shí)數(shù)t的取值范圍為（-∞，3]；
（3）由a_n=2n-1，知數(shù)列{a_n}中每一項(xiàng)都是奇數(shù)．
當(dāng)q=1時(shí)，顯然不存在這樣的數(shù)列{a_nk}．
當(dāng)q=3時(shí)，若存在以a₁為首項(xiàng)，公比為3的數(shù)列{a_nk}，k∈N^*．
則an1=1，n₁=1，所以ank=3^k-1=2n_k-1，
所以n_k=

3k-1+1

2

．
所以滿足條件的數(shù)列{n_k}的通項(xiàng)公式為n_k=

3k-1+1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，有難度．