Question

（2012•安徽）若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即AB=CD，AC=BD，AD=BC，則

②④⑤

（寫出所有正確結(jié)論編號）
①四面體ABCD每組對棱相互垂直
②四面體ABCD每個(gè)面的面積相等
③從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180°
④連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)的線段互垂直平分
⑤從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長可作為一個(gè)三角形的三邊長．

Answer 1

分析：①將四面體ABCD的三組對棱分別看作平行六面體的對角線，由于三組對棱分別相等，所以平行六面體為長方體．結(jié)合長方體的性質(zhì)判斷
②四面體ABCD的每個(gè)面是全等的三角形，面積是相等的．
③由②，從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)內(nèi)角，它們之和為180°．
④連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，線段互垂直平分
⑤由①，設(shè)所在的長方體長寬高分別為a，b，c，則每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為

a2+b2

，

c2+b2

，

a2+c2

易知能構(gòu)成三角形．

解答：解：①將四面體ABCD的三組對棱分別看作平行六面體的對角線，由于三組對棱分別相等，所以平行六面體為長方體．
由于長方體的各面不一定為正方形，所以同一面上的面對角線不一定垂直，從而每組對棱不一定相互垂直．①錯(cuò)誤
②四面體ABCD的每個(gè)面是全等的三角形，面積是相等的．②正確
③由②，四面體ABCD的每個(gè)面是全等的三角形，從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角能夠等量代換為同一個(gè)三角形內(nèi)的三個(gè)內(nèi)角，它們之和為180°．③錯(cuò)誤
④連接四面體ABCD每組對棱中點(diǎn)構(gòu)成菱形，線段互垂直平分④正確
⑤由①，設(shè)所在的長方體長寬高分別為a，b，c，則每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長分別為

a2+b2

，

c2+b2

，

a2+c2

，任意兩邊之和大于第三邊，能構(gòu)成三角形．⑤正確
故答案為：②④⑤

點(diǎn)評：本題考查空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，線線位置故選，要具有良好的轉(zhuǎn)化，推理、論證能力．