Question

4．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD且AB=AD=$\frac{1}{2}$CD=1，現(xiàn)以AD為一邊向梯形外作正方形ADEF，然后沿AD將正方形翻折，使平面ADEF與平面ABCD互相垂直

（1）求證：平面BDE⊥平面BEC；
（2）求三棱錐D-BEF的體積V．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明平面BDE⊥平面BEC；
（2）根據(jù)三棱錐的體積公式即可求三棱錐D-BEF的體積V．

解答 解：（1）證明：在△ABC中，有$CD=2，BC=BD=\sqrt{2}$得 CB⊥BD，…（2分）
又由平面ADEF⊥平面ABCD，且AD⊥ED，
有ED⊥ABCD，得 CB⊥ED，…（4分）
∵BD∩ED，則BC⊥平面BDE，
∵BC?平面BEC，
故平面BDE⊥平面BEC．…（6分）
（2）由平面ADEF⊥平面ABCD，且AD⊥AB，
得AB⊥平面ADEF，
則 $V={V_{D-BEF}}={V_{B-DEF}}=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1=\frac{1}{6}$．…（12分）

點評 本題主要考查面面垂直的判定以及三棱錐體積的計算，考查學生的運算和推理能力．