Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2x+1

+a是奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）求f（x）的值域；
（3）f（m²-2）+f（m）＞0，求m的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：

分析：本題（1）可以利用函數(shù)f（x）的奇偶性定義，得到參數(shù)a的值；
（2）將原函數(shù)進行變形，再利用指數(shù)函數(shù)的值域，求出原函數(shù)的值域；
（3）再對函數(shù)f（x）的單調(diào)性進行研究，從而將函數(shù)值問題轉(zhuǎn)化為自變量大小的比較，再解不等式，得到本題的結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

2x+1

+a是奇函數(shù)，
∴f（-x）=-f（x），
∴

1

2-x+1

+a=-

1

2x+1

-a，
∴a=-

1

2

(

1

2x+1

+

1

2-x+1

)=-

1

2

，
∴a=-

1

2

．
（2）由（1）知：a=-

1

2

，
∴f（x）=

1

2x+1

-

1

2

．
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

1

2x+1

＜1，
∴-

1

2

＜

1

2x+1

-

1

2

＜

1

2

，
∴函數(shù)f（x）的值域為(-

1

2

，

1

2

)．
（3）∵f（x）=

1

2x+1

-

1

2

，
∴f（x）=

1

2x+1

-

1

2

在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減．
∵f（m²-2）+f（m）＞0，
∴f（m²-2）＞-f（m），
∴m²-2＜-m，
∴m²+m-2＜0，
∴-2＜x＜1．
∴m的取值范圍是（-2，1）．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及其應用，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．