Question

已知拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)M（2，m）（m＞0），M到焦點(diǎn)F的距離為

5

2

，A、B是拋物線(xiàn)C上異于M的兩點(diǎn)，且MA⊥MB．
（1）求p和m的值；
（2）問(wèn)直線(xiàn)AB是否恒過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)，求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：探究型

分析：對(duì)第（1）問(wèn)，由點(diǎn)M到焦點(diǎn)F的距離想到拋物線(xiàn)的定義，由此得到一個(gè)方程，將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)方程中，又得一個(gè)方程，可解得p和m的值；
對(duì)第（2）問(wèn)，先設(shè)出直線(xiàn)AB的方程及A，B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的方程，利用韋達(dá)定理及條件MA⊥MB進(jìn)一步探究直線(xiàn)方程，最后根據(jù)直線(xiàn)方程的形式特征獲得定值．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)M（2，m）在拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）上，
由拋物線(xiàn)的定義知，2+

p

2

=

5

2

，得p=1，
從而拋物線(xiàn)C的方程為y²=2x，
將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入C的方程中，有m²=4（m＞0），
解得m=2．  
綜上知，p=1，m=2．                
（2）由題意知，直線(xiàn)AB不與y軸垂直，可設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=ty+n，
又設(shè)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將x=ty+n代入y²=2x中，整理得關(guān)于y的一元二次方程y²-2ty-2n=0，
則此方程的兩根為y₁，y₂，所以△=4t²+8n＞0，且y₁+y₂=2t，y₁•y₂=-2n；          
由MA⊥MB得（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-2）（y₂-2）=0，
而x₁=ty₁+n，x₂=ty₂+n，y₁²=2x₁，y₂²=2x₂，
所以

(y1•y2)2

4

+y₁•y₂-2（t+1）（y₁+y₂）-4n+8=0，
將y₁+y₂=2t，y₁•y₂=-2n代入上式，化簡(jiǎn)并整理得（n-3）²=（2t+1）²，
得n-3=2t+1，或3-n=2t+1，即n=2t+4，或n=2-2t，
當(dāng)n=2t+4時(shí)，聯(lián)立x=ty+n消去n，得直線(xiàn)AB的方程為x=t（y+2）+4，
此時(shí)，△=4t²+8n=4t²+16t+32=4（t+2）²+16＞0，
可知直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)（4，-2）．
當(dāng)n=2-2t時(shí)，得直線(xiàn)AB的方程為x=t（y-2）+2，此直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)M（2，2），不合題意．
綜上知，直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn)（4，-2）．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可采取分離參數(shù)法，求解的一般思路與步驟是：
1．設(shè)直線(xiàn)方程；
2．聯(lián)立直線(xiàn)與曲線(xiàn)方程，利用韋達(dá)定理與已知條件進(jìn)行消參；
3．將剩余參數(shù)分離，調(diào)整直線(xiàn)方程的形式，從而獲得定值．