Question

已知函數(shù)f（x）=x+

2a2

x

-alnx．
（1）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）若a＞0時，函數(shù)f（x）有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，斜率及切點坐標(biāo)，代入點斜式方程即可求出，
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論a＞0，a=0，a＜0的情況，從而求出單調(diào)區(qū)間，
（3）由（2）得：f（x）_min=f（2a）=a（1-ln2a），從而a（1-ln2a）＜0，解出即可．

解答： 解：（1）a=1時，f（x）=x+

2

x

-lnx，
∴f′（x）=

(x-2)(x+1)

x2

，
∴f′（1）=-2，而f（1）=3，
∴切線方程為：y-3=-2（x-1），
即：2x+y-5=0；
（2）∵f′（x）=

(x-2a)(x+a)

x2

，
①a＞0時，
令f′（x）＞0，解得：x＞2a，x＜-a（舍），
令f′（x），0，解得：0＜x＜2a，
∴f（x）在（0，2a）遞減，在（2a，+∞）遞增，
②a=0時，f′（x）=1＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，
③a＜0時，
令f′（x）＞0，解得：x＞-a，x＜2a（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜-a，
∴f（x）在（0，-a）遞減，在（-a，+∞）遞增；
（3）若a＞0時，
由（2）得：f（x）_min=f（2a）=a（3-ln2a），
∵函數(shù)f（x）有兩個零點，
∴a（3-ln2a）＜0，
解得：a＞

e3

2

，
∴a的取值范圍是：（

e3

2

，+∞）．

點評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，滲透了數(shù)形結(jié)合思想，是一道綜合題．