Question

13．（1）求函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{5-x}}}{{{{log}_2}x-2}}$的定義域；
（2）求函數(shù)$f（x）={log_a}（-{x^2}+2x+3）$（a＞0，且a≠1）的值域．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}5-x≥0\\ x＞0\\{log_2}x≠2\end{array}\right.$，從而求函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{5-x}}}{{{{log}_2}x-2}}$的定義域；
（2）由配方法可得-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，再討論a以確定對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，從而求值域．

解答 解：（1）由題意得，
$\left\{\begin{array}{l}5-x≥0\\ x＞0\\{log_2}x≠2\end{array}\right.$，
解得，0＜x≤5，且x≠4，
∴函數(shù)f（x）的定義域是（0，4）∪（4，5]；
（2）∵t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4≤4，
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，f（x）≥log_a4，
即函數(shù)的值域是[log_a4，+∞）；
②當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）≤log_a4，
即函數(shù)的值域是（-∞，log_a4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的定義域與值域的求法，同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用及配方法與單調(diào)性的應(yīng)用．