Question

已知函數(shù)，.（為常數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底）

  （1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；

  （2）若函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，求的最小值；

  （3）若對(duì)任意給定的，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，求的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，則.

令得；令得

故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為    

（2）∵函數(shù)在區(qū)間上不可能恒成立，故要使函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，只要對(duì)，恒成立。即對(duì)，恒成立�！�…4分

令（）則   

再令，則，∵，∴

故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴        

即，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴  …6分

故只要函數(shù)在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，所以   …7分

（3）∵，當(dāng)，，∴函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)。

∴                        

當(dāng)時(shí)，，不符題意

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，由題意有在上不單調(diào)，故

		0	+
	單調(diào)遞減	最小值	單調(diào)遞增

∴①                        …

當(dāng)變化時(shí)，變化情況如右：

又因?yàn)?img src='http://thumb.1010pic.com/pic1/files/down/test/2014/11/05/02/2014110502403286588989.files/image300.gif'>時(shí)，

 

所以，對(duì)于給定的，在在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立，當(dāng)且僅當(dāng)滿(mǎn)足下列條件

即②③    

令 ,則，令，得

故時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減  

所以對(duì)任意的，    

由③得④，由①④當(dāng)時(shí)，在上總存在兩個(gè)不同的，使得成立