Question

（本小題12分）

下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖．

    （Ⅰ）若為的中點，求證：面;

    （Ⅱ）證明面;

    （Ⅲ）求面與面所成的二面角（銳角）的余弦值．

 

Answer 1

答案

解: （Ⅰ）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形,PA⊥面ABCD,

PA∥EB，PA=2EB=4．∵PA=AD,F為PD的中點，　

∴PD⊥AF，

又∵CD⊥DA,CD⊥PA,PA∩DA=A，　

∴CD⊥面ADP,

∴CD⊥AF．又CD∩DP=D,　∴AF⊥面PCD．    ------------- 4分

   （Ⅱ）取PC的中點M,AC與BD的交點為N，連結MN，

∴MN=PA，MN∥PA，

∴MN=EB,MN∥EB，故四邊形BEMN為平行四邊形，

∴EM∥BN，又EM面PEC,∴BD∥面PEC．        -------------7分

   （Ⅲ）分別以BC,BA,BE為x,y,z軸建立空間直角坐標系，

則C( 4,0,0)，D(4 ,4 , 0)，E(0,0,2)，A(0,4 ,0)，P(0,4,4)，

∵F為PD的中點，∴F(2,4,2)．

∵AF⊥面PCD，∴為面PCD的一個法向量，

=(－2,0,－2)，設平面PEC的法向量為=(x,y ,z)，

則,

  ∴,令x=1,∴,      -------------10分

∴

∴與的夾角為．

面PEC與面PDC所成的二面角（銳角）的余弦值為．        -------------12分