【題目】已知函數(shù)f(x)=a(x-lnx)(a∈R).
(Ⅰ)試討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅱ)若對任意x∈(0,+∞),不等式f(x)<+x-1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(-∞,1)
【解析】
(Ⅰ)先求導(dǎo),根據(jù)a的不同取值范圍進行分類討論,求出單調(diào)性;
(Ⅱ)不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)值不大于零的問題。對函數(shù)求導(dǎo),然后分類討論,確定實數(shù)a的取值范圍。
解:(I)f′(x)=a(1-)=,(x>0).
當a>0時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,在(1,+∞)上單調(diào)遞增.
當a<0時,函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
當a=0時,函數(shù)f(x)=0(x>0),不具有單調(diào)性.
(Ⅱ)對任意x∈(0,+∞),不等式f(x)<+x-1恒成立a(x-lnx)--x+1≤0,(*)
令g(x)=a(x-lnx)--x+1,(x>0).
g′(x)=a(1-)+-1=,
當a≤1時,∵x>0,∴(a-1)x-1<0,h′(x)>00<x<1;h′(x)<0x>1.
∴h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增,在(1,+∞)上單調(diào)遞減.
∴h(x)≤h(1)=a-1,要使不等式(*)恒成立,則a-1<0,即a<1.
當a>1時,h(1)=a-1>0,不等式(*)不恒成立.
故實數(shù)a的取值范圍是(-∞,1).
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【題目】設(shè)橢圓的右頂點為,上頂點為.已知橢圓的離心率為,.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,且點在第二象限.與延長線交于點,若的面積是面積的3倍,求的值.
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【題目】某油庫的容量為31萬噸,油庫已儲存石油10萬噸.計劃從2020年1月起每月初先購進石油萬噸,然后再調(diào)出一部分石油來滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求.若區(qū)域內(nèi)每月用石油1萬噸,區(qū)域外前個月的需求量(萬噸)與的函數(shù)關(guān)系為.已知前4個月區(qū)域外的需求量為15萬噸.
(1)試寫出200年第個月石油調(diào)出后,油庫內(nèi)儲油量(萬噸)的函數(shù)表達式;
(2)要使庫中的石油在2020年前10個月內(nèi)每個月都不超過油庫的容量,又能滿足區(qū)域內(nèi)和區(qū)域外的需求,求的取值范圍.
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【題目】在中,為直角,,,與相交于點,,.
(1)試用、表示向量;
(2)在線段上取一點,在線段上取一點,使得直線過,設(shè),,求的值;
(3)若,過作線段,使得為的中點,且,求的取值范圍.
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【題目】2018年非洲豬瘟在東北三省出現(xiàn),為了進行防控,某地生物醫(yī)藥公司派出技術(shù)人員對當?shù)匾火B(yǎng)豬場提供技術(shù)服務(wù),收費標準是:每天公司收取養(yǎng)豬場技術(shù)服務(wù)費120元,當天若需要用藥的豬不超過45頭,不另外收費,若需要用藥的豬超過45頭,超過部分每頭收取藥費8元.
(1)設(shè)醫(yī)藥公司日收費為(單位:元),每天需要用藥的豬的數(shù)量為(單位:頭),,試寫出醫(yī)藥公司日收取的費用關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)若該醫(yī)藥公司從10月1日起對該養(yǎng)豬場提供技術(shù)服務(wù),10月31日該養(yǎng)豬場對其中一個豬舍9月份和10月份豬的發(fā)病數(shù)量進行了統(tǒng)計,得到如下列聯(lián)表.
9月份 | 10月份 | 合計 | |
未發(fā)病 | 40 | 85 | 125 |
發(fā)病 | 65 | 20 | 85 |
合計 | 105 | 105 | 210 |
根據(jù)以上列聯(lián)表,判斷是否有99.9%的把握認為豬未發(fā)病與醫(yī)藥公司提供技術(shù)服務(wù)有關(guān)?
附:,其中.
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
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【題目】如圖,在四棱柱中,側(cè)棱底面,,,,.
(1)求二面角的正弦值;
(2)點是線段的中點,點為線段上點,若直線與平面所成角的正弦值為,求線段的長.
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【題目】某企業(yè)年的純利潤為萬元,因設(shè)備老化等原因,企業(yè)的生產(chǎn)能力將逐年下降,若不進行技術(shù)改造,預(yù)測從今年(年)起每年比上一年純利潤減少萬元,今年初該企業(yè)一次性投入資金萬元進行技術(shù)改造,預(yù)計在未扣除技術(shù)改造資金的情況下,第年(今年為第一年)的利潤為萬元(為正整數(shù)).
(1)設(shè)從今年起的前年,若該企業(yè)不進行技術(shù)改造的累計純利潤為萬元,進行技術(shù)改造后的累計純利潤為萬元(須扣除技術(shù)改造資金),求,的表達式;
(2)以上述預(yù)測,從今年起該企業(yè)至少經(jīng)過多少年后,進行技術(shù)改造后的累計純利潤超過不進行技術(shù)改造的累計純利潤?
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若<<0,則下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④lna2>lnb2中,正確的是( )
(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
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