Question

【題目】在中，為直角，，，與相交于點(diǎn)，，.

（1）試用、表示向量；

（2）在線段上取一點(diǎn)，在線段上取一點(diǎn)，使得直線過，設(shè)，，求的值；

（3）若，過作線段，使得為的中點(diǎn)，且，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)，，三點(diǎn)共線，可得存在非零實(shí)數(shù)使得，從而，，利用平面向量基本定理可得，的關(guān)系，同理，，三點(diǎn)共線，可得，的關(guān)系，由此即可求得，的值，即得解；（2）將兩次線性表示，利用平面向量基本定理，建立等式，消參，即可證得結(jié)論

（3）如圖，設(shè)的夾角為，則的夾角為，求出，再求取值范圍.

（1）解：設(shè)

，，三點(diǎn)共線，存在非零實(shí)數(shù)使得

，

①

又，，三點(diǎn)共線，存在非零實(shí)數(shù)使得

，

又②

由①②解得：，

所以.

（2）證明：由（1）知，

，，三點(diǎn)共線，

存在非零實(shí)數(shù)使得

消去得．

所以 .

（3）

如圖，設(shè)的夾角為，則的夾角為，

所以

所以

所以.