Question

已知函數(shù)f(x)=

1

x

，把f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位，再向上平移一個(gè)單位，得到y(tǒng)=g（x）的圖象．
（1）求g（x）的解析式；
（2）寫出g（x）的單調(diào)區(qū)間，并證明g（x）的單調(diào)性（用函數(shù)單調(diào)性的定義證明）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的圖象與圖象變化,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象平移的知識，由f(x)=

1

x

得到g（x）的解析式；
（2）用單調(diào)性定義證明g（x）在區(qū)間（-∞，1），（1，+∞）的單調(diào)性，按照取值、作差、判正負(fù)、下結(jié)論的步驟證明即可．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=

1

x

，f（x）的圖象向右平移一個(gè)單位，得到y(tǒng)=

1

x-1

的圖象，
再向上平移一個(gè)單位，得到y(tǒng)=

1

x-1

+1的圖象；
∴函數(shù)g（x）=

1

x-1

+1=

x

x-1

；
（2）g（x）在區(qū)間（-∞，1），（1，+∞）上單調(diào)遞減，
證明：在（1，+∞）上任取x₁＞x₂，
則g(x1)-g(x2)=

x1

x1-1

-

x2

x2-1

=

x1(x2-1)-x2(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

，
當(dāng)x₁＞x₂＞1時(shí)，x₂-x₁＜0，（x₁-1）（x₂-1）＞0，
∴

x2-x1

(x1-1)(x2-1)

＜0，
∴g（x₁）-g（x₂）＜0，
即g（x₁）＜g（x₂），
∴g（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞減；
同理可證，g（x）在區(qū)間（-∞，1）上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)圖象平移的知識以及單調(diào)性的證明問題，是基礎(chǔ)題．