【題目】如圖,在平面直角坐標系中,己知是橢圓的右焦點,是橢圓上位于軸上方的任意一點,過作垂直于的直線交其右準線于點.

1)求橢圓的方程;

2)若,求證:直線與橢圓相切;

3)在橢圓上是否存在點,使四邊形是平行四邊形?若存在,求出所有符合條件的點的坐標:若不存在,請說明理由.

【答案】12)見解析(3)存在,.

【解析】

1)準線方程為,結合即可得到答案;

2,由點斜式寫出的方程,進一步得到的坐標,利用P、Q兩點的坐標寫出方程,再與橢圓方程聯(lián)立消元,判斷方程解的個數(shù)即可;

3)當直線的斜率不存在,則.此時存在,使得四邊形是平行四邊形;當直線的斜率存在,設,分別求出的坐標,利用解方程組即可判斷.

1)由題意,,

解得,

所以橢圓的方程為.

2)因為

由于,所以,所以.

,則,

所以,即點的坐標為.

由直線的斜率為,所以直線的方程為,

,得,即,

所以直線的方程為.

聯(lián)立方程組,消

化簡可得,,即方程有唯一解.

所以上述方程組有唯一解,即直線與橢圓有且只有一個公共點,

所以直線與橢圓相切.

3)若直線的斜率不存在,則,.

此時存在,使得四邊形是平行四邊形.

若直線的斜率存在,設,則,

由直線的斜率為,知直線的方程為.

,得,即

所以直線的斜率.

假設在橢圓上存在點,使四邊形是平行四邊形,

.

所以直線的方程為,聯(lián)立橢圓,

可得,

所以直線的斜率.

又直線的斜率,

,即,

化簡可得,.

,可以解得,,這與矛盾!

綜上,符合條件的點只有一個,其坐標為.

練習冊系列答案
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區(qū)間

人數(shù)

50

50

a

150

b

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A.0B.1C.2D.3

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日期

2

7

15

22

30

溫度/℃

10

11

13

12

8

產卵數(shù)y/個

22

24

29

25

16

1)從這5天中任選2天,記這2天藥用昆蟲的產卵數(shù)分別為mn,求“事件mn均不小于24”的概率?

2)科研人員確定的研究方案是:先從這5組數(shù)據(jù)中任選2組,用剩下的3組數(shù)據(jù)建立線性回歸方程,再對被選取的2組數(shù)據(jù)進行檢驗.

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