Question

在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=1，AA₁=AB=2．點E是線段AB上的動點，點M為D₁C的中點．
（1）當(dāng)E點是AB中點時，求證：直線ME∥平面ADD₁A₁；
（2）若二面角A-D₁E-C的余弦值為

4 5

15

．求線段AE的長．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）取DD₁的中點N，連結(jié)MN，AN，ME，由已知條件推導(dǎo)出四邊形MNAE為平行四邊形，由此能證明直線ME∥平面ADD₁A₁．
（2）設(shè)AE=m，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題設(shè)條件利用向量法能求出線段AE的長．

解答： （1）證明：取DD₁的中點N，連結(jié)MN，AN，ME，
∵點M為D₁C的中點，E點是AB中點，
∴MN

∥

.

1

2

CD，AE

∥

.

1

2

CD，
∴四邊形MNAE為平行四邊形，
∴ME∥AN，
∵AN?平面ADD₁A₁，ME不包含于平面ADD₁A₁，
∴直線ME∥平面ADD₁A₁．
（2）解：設(shè)AE=m，如圖以DA為x軸，以DC為y軸，以DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意知A（1，0，0），E（1，m，0），C（0，2，0），D₁（0，0，2），
∴

AD1

=（-1，0，2），

AE

=（0，m，0），

D1C

=（0，2，-2），

EC

=(-1，2-m，0)，
設(shè)平面AD₁E的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
則

n1

•

AD1

=0，

n1

•

AE

=0，
∴

my1=0 -x1+2z1=0

，∴

n1

=(2，0，1)，
設(shè)平面D₁EC的法向量為

n2

=（x，y，z），
則

n2

•

D1C

=0，

n2

•

EC

=0，
∴

2y-2z=0 -x+(2-m)y=0

，∴

n2

=（2-m，1，1），
設(shè)二面角A-D₁E-C的平面角為θ，
∵二面角A-D₁E-C的余弦值為

4 5

15

，
∴cosθ=

5-2m

5 • (2-m)2+1+1

=

4 5

15

，
整理，得20m²-116m+129=0，
解得m=

3

2

或m=

43

10

（舍），
∴線段AE的長為

3

2

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查線段落長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．