Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB=4，E為PD中點．
（1）證明：PB∥平面AEC；
（2）證明：平面PCD⊥平面PAD；
（3）求二面角E-AC-D的正弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,平面與平面垂直的判定,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（1）以A為坐標原點，以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明PB∥平面AEC．
（2）由已知條件得到CD⊥AD，CD⊥PA，從而得到CD⊥平面PAD，由此能夠證明平面PCD⊥平面PAD．
（3）分別求出平面ACD的法向量

m

和平面AEC的法向量

n

，由此能求出二面角E-AC-D的正弦值．

解答： （1）證明：在四棱錐P-ABCD中，
四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，
以A為坐標原點，以AB為x軸，以AD為y軸，以AP為z軸，建立空間直角坐標系，
∵PA=AB=4，E為PD中點，
∴P（0，0，4），B（4，0，0），
A（0，0，0），C（4，4，0），D（0，4，0），E（0，2，2），
∴

PB

=(4，0，-4)，

AC

=（4，4，0），

AE

=(0，2，2)，
設平面AEC的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n

•

AC

=0，

n

•

AE

=0，
∴

4x+4y=0 2y+2z=0

，∴

n

=（1，-1，1），
∵

PB

•

n

=4+0-4=0，且PB不包含于平面AEC，
∴PB∥平面AEC．
（2）證明：在四棱錐P-ABCD中，
∵四邊形ABCD為正方形，PA⊥面ABCD，
∴CD⊥AD，CD⊥PA，
∴CD⊥平面PAD，
∵CD?平面PCD，
∴平面PCD⊥平面PAD．
（3）解：∵平面ACD的法向量

m

=（0，0，1），
由（1）知平面AEC的法向量

n

=（1，-1，1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

=

3

3

，
sin＜

m

，

n

＞=

1-( 3 3 )2

=

6

3

，
∴二面角E-AC-D的正弦值為

6

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查平面與平面垂直的證明，考查二面角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運用．