考點(diǎn):與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專(zhuān)題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(I)由已知條件利用勾股定理推導(dǎo)出AC⊥AB,再由直三棱柱推導(dǎo)出AC⊥面ABB1A1,由此利用三垂線定理能證明A1B⊥B1C.
(II)作BD⊥B1C,垂足為D,連結(jié)A1D,由題設(shè)條件能推導(dǎo)出∠A1DB為二面角A1-B1C-B的平面角,由此能求出二面角A1-B1C-B的大。
解答:
(I)證明:直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,
∵
AC=1,AB=,BC=,AA1=,
∴AC
2+AB
2=BC
2,∴AC⊥AB.
∵ABC-A
1B
1C
1是直三棱柱,面ABB
1A
1⊥面ABC,
∴AC⊥面ABB
1A
1.…(3分)
∵AA
1=AB=
,∴側(cè)面ABB
1A
1是正方形,連結(jié)AB
1,
∴A
1B⊥AB
1.
由三垂線定理得A
1B⊥B
1C. …(6分)
(II)解:作BD⊥B
1C,垂足為D,連結(jié)A
1D.
由(I)知,A
1B⊥B
1C,∴B
1C⊥面A
1BD,∴B
1C⊥A
1D,
∴∠A
1DB為二面角A
1-B
1C-B的平面角. …(8分)
∵A
1B
1⊥A
1C
1,∴A
1B
1⊥A
1C,
∵
A1B1=BB1=,
A1C=BC=,
B1C=,
∴Rt△A
1B
1C≌Rt△B
1BC,
∴
A1D=BD==
,
又∵A
1B=2,∴cos
∠A1DB==-
,
∴
∠A1DA=arccos(-).
∴二面角A
1-B
1C-B的大小為arccos(-
).…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的大小的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意合理地化空間問(wèn)題為平面問(wèn)題.