Question

已知直線l的參數(shù)方程為

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t為參數(shù)），曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2

2

sin（θ+

π

4

），直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P．
（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）求

1

|PA|

+

1

|PB|

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線的參數(shù)方程,簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程

專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程

分析：（1）消去參數(shù)t，把直線l的參數(shù)方程化為普通方程，利用極坐標(biāo)公式，把曲線C的極坐標(biāo)方程化為普通方程；
（2）把直線l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程中，得到t²-t-1=0，由根與系數(shù)的關(guān)系，求出

1

|PA|

+

1

|PB|

=

|t1-t2|

|t1t2|

的值．

解答： 解：（1）消去參數(shù)t，把直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

（t為參數(shù)）化為普通方程是

3

x-y+1=0，
利用極坐標(biāo)公式，把曲線C的極坐標(biāo)方程ρ=2

2

sin（θ+

π

4

）化為
ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴普通方程是x²+y²=2y+2x，
即（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）∵直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，
把直線l的參數(shù)方程

x= 1 2 t y=1+ 3 2 t

代入曲線C的普通方程（x-1）²+（y-1）²=2中，
得t²-t-1=0，
∴

t1•t2=-1 t1+t2=1

；
∴

1

|PA|

+

1

|PB|

=

1

|t1|

+

1

|t2|

=

|t1-t2|

|t1t2|

=

(t1+t2)2-4t1t2

=

12-4×(-1)

=

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了參數(shù)方程與極坐標(biāo)的應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)熟悉參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程與普通方程的互化問(wèn)題，是中檔題．