Question

【題目】某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ） 在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí)，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如表：

ωx+φ	0		π		2π
x
f（x）=Asin（ωx+φ）	0	5		﹣5	0

（1）請將如表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移 個(gè)單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求y=g（x）的圖象離原點(diǎn)O最近的對稱中心．
（3）求當(dāng) 時(shí)，函數(shù)y=g（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）解：根據(jù)所給的表格可得A=5， = = ﹣ ，∴ω=2，結(jié)合五點(diǎn)法作圖可得2 +φ= ，∴φ=﹣ ，

∴f（x）=5sin（2x﹣ ）．

根據(jù)五點(diǎn)法作圖可得表格具體為：

ωx+φ	0		π		2π
x
f（x）	0	5	0	﹣5	0

（2）解：將函數(shù)y=f（x）=5sin（2x﹣ ）的圖象向左平移 個(gè)單位長度，

得到函數(shù)y=g（x）=5sin[2（x+ ）﹣ ]=5sin（2x+ ）的圖象，

令2x+ =kπ，求得x= ﹣ ，k∈Z，

故y=g（x）的圖象離原點(diǎn)O最近的對稱中心為（﹣ ，0）

（3）解：求當(dāng) 時(shí)，2x+ ∈[﹣ ， ]，故當(dāng)2x+ =﹣ 時(shí)，g（x）取得最小值為﹣ ，

當(dāng)2x+ = 時(shí)，g（x）取得最大值為5，故函數(shù)y=g（x）的值域?yàn)閇﹣ ，5]．

【解析】（1）根據(jù)用五點(diǎn)法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）在一個(gè)周期上的簡圖的方法，求得A、ω、φ的值，可得函數(shù)的解析式，并得到完整的表格．（2）利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，求得y=g（x）的圖象離原點(diǎn)O最近的對稱中心．（3）利用正弦函數(shù)的定義域和值域，求得當(dāng) 時(shí)，函數(shù)y=g（x）的值域．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的相關(guān)知識，掌握圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象；再將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象．