Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=2，M為棱AA₁上一點(diǎn)，且B₁M與平面ACC₁所成角為30°．
（1）確定M的位置，并證明你的結(jié)論；
（2）求二面角M-B₁C-C₁的大小正切值；
（3）求點(diǎn)B到平面MB₁C的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）M為AA₁中點(diǎn)．取A₁C₁中點(diǎn)N，連結(jié)B₁N，MN，B₁M，由已知條件推導(dǎo)出B₁N=

2

2

，B1M=

2

，從而得到A1M=

2-1

=1，所以M為AA₁中點(diǎn)．
（2）過(guò)M作ME⊥BB₁于E，過(guò)E作EF⊥B₁C交于F，連MF，由已知條件得∠MFE為二面角M-B₁C-B平面角．由此能求出二面角M-B₁C-C₁的正切值．
（3）過(guò)E作EH⊥MF，則EH⊥平面MB₁C，所以EH的長(zhǎng)為E到平面MB₁C距離，由此能求出B到平面MB₁C的距離．

解答： （1）解：M為AA₁中點(diǎn)．
證明如下：取A₁C₁中點(diǎn)N，連結(jié)B₁N，MN，B₁M，
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=1，∠ABC=90°，AA₁=2，
M為棱AA₁上一點(diǎn)，且B₁M與平面ACC₁所成角為30°．
∴B₁N⊥平面ACC₁，∠B₁MN=30°，
∵B₁N=

1- 1 2

=

2

2

，∴B1M=

2

，
∴A1M=

2-1

=1，∴M為AA₁中點(diǎn)．…（4分）
（2）解：過(guò)M作ME⊥BB₁于E，
則ME⊥平面BCC₁B₁，且E為BB₁中點(diǎn)，
過(guò)E作EF⊥B₁C交于F，連MF，則MF⊥B₁C
∴∠MFE為二面角M-B₁C-B平面角．
在Rt△MEF中，ME=1，EF=

5

5

∴tan∠MFE=

ME

EF

=

5

∴所求二面角M-B₁C-C₁的正切值為-

5

…（8分）
（3）解：過(guò)E作EH⊥MF，則EH⊥平面MB₁C，
∴EH的長(zhǎng)為E到平面MB₁C距離，
在Rt△MEF中，EH=

ME•EF

MF

=

6

6

又∵E為BB₁中點(diǎn)，
∴B到平面MB₁C的距離為2EH=

6

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二面角正切值的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．