Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求不等式的解集;

(2)函數(shù)若存在使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;

(3)若函數(shù)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)(直接寫出答案，不要求寫出解題過(guò)程).

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案見(jiàn)解析.

【解析】【試題分析】（1）先判斷出函數(shù)的是定義在區(qū)間上的減函數(shù)，然后將所求不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為即，由此求得解集為.（2）由題意知: 時(shí), 值域有交集. 時(shí), 是減函數(shù)對(duì)分成兩類討論得出的值域，由此求得的取值范圍.（3）由，得，令則作出圖像，對(duì)分類，結(jié)合圖象討論零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

【試題解析】

（1），定義域?yàn)?/span>

,函數(shù)是奇函數(shù).

又在時(shí)是減函數(shù),(也可用定義法證明)

故不等式等價(jià)于

即,

又

故不等式的解集為.

(2)由題意知: 時(shí), 值域有交集.

時(shí), 是減函數(shù)

當(dāng)時(shí), 時(shí)單調(diào)遞減,

當(dāng)時(shí), 時(shí)單調(diào)遞增, 顯然不符合

綜上: 的取值范圍為

(3)由，得，令則

作出圖像

由圖可知，①當(dāng)時(shí)，由得出，

當(dāng)時(shí), ,對(duì)應(yīng)有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí), ,對(duì)應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)，對(duì)應(yīng)有1個(gè)零點(diǎn)；

③當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)，對(duì)應(yīng)只有一個(gè)零點(diǎn)；

④當(dāng)時(shí)， ，此時(shí) ， ，

由

得在時(shí)， ，三個(gè)分別對(duì)應(yīng)一個(gè)零點(diǎn)，共3個(gè)，

在時(shí)， ，三個(gè)分別對(duì)應(yīng)1個(gè)，1個(gè)，3個(gè)零點(diǎn)，共5個(gè).

綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)或時(shí)，函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)有5個(gè)零點(diǎn).