Question

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，當(dāng)變化時(shí)，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓幾何條件得，再由離心率解得，即得，（2）由直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)得判別式大于零，解得m取值范圍，再根據(jù)點(diǎn)斜式寫出線段的垂直平分線方程，解得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式得高，根據(jù)弦長(zhǎng)公式得底邊邊長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積公式得面積函數(shù)關(guān)系式，最后根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最大值.

試題解析：（1）由離心率，半焦距，解得.

所以，所以橢圓的方程是.

（2）解：設(shè)，，

據(jù)得

∵直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

∴，又，所以且.

由根與系數(shù)的關(guān)系得，

設(shè)線段中點(diǎn)為，點(diǎn)橫坐標(biāo)，，∴，

∴線段垂直平分線方程為，∴點(diǎn)坐標(biāo)為，

點(diǎn)到直線的距離，

又，

所以

，所以當(dāng)時(shí)，三角形面積最大，且.