【題目】如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1C1C是邊長為4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C， AB=3，BC=5.

（1）求證：AA1⊥平面ABC；

（2）求二面角A1-BC1-B1的余弦值；

（3）求點C到平面的距離.

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】試題分析：（1）第（1）問，直接轉(zhuǎn)化成平面ABC⊥平面AA1C1C. (2)利用空間向量法求二面角A1-BC1-B1的余弦值. (3)利用空間向量法求點C到平面的距離.

試題解析：

證明：（1）因為為正方形，所以.

因為平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC平面AA1C1C ，所以⊥平面ABC.

（2）由（1）知， ⊥AC, ⊥AB.

由題意知，所以.

如圖，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系,則.

設(shè)平面的法向量為，則即

令，則，所以.

同理可得，平面的法向量為.

所以.

由題知二面角A1-BC1-B1為銳角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值為.

（3）由（2）知平面的法向量為，

所以點C到平面距離.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知雙曲線 =1（a＞0，b＞0）上一點C，過雙曲線中心的直線交雙曲線于A，B兩點，記直線AC，BC的斜率分別為k1 ， k2 ， 當(dāng) +ln|k1|+ln|k2|最小時，雙曲線離心率為（ ）
A.
B.
C. +1
D.2

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