Question

（2013•鹽城二模）橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F，直線x=m與橢圓相交于A，B兩點，若△FAB的周長最大時，△FAB的面積為ab，則橢圓的離心率為

2

2

．

Answer 1

分析：先畫出圖象，結合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長的表達式，進而求出何時周長最大，即可求出橢圓的離心率．

解答：解：設橢圓的右焦點E．如圖：
由橢圓的定義得：△FAB的周長為：AB+AF+BF=AB+（2a-AE）+（2a-BE）=4a+AB-AE-BE；
∵AE+BE≥AB；
∴AB-AE-BE≤0，當AB過點E時取等號；
∴△FAB的周長：AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a；
∴△FAB的周長的最大值是4a；
此時，△FAB的面積為

1

2

×2c×

2b2

a

=ab，
∴a²=2bc，平方得，
a⁴=4（a²-c²）c²
即4e⁴-4e²+1=0
∴e=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題主要考查橢圓的簡單性質．在解決涉及到圓錐曲線上的點與焦點之間的關系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．