Question

（2013•鹽城二模）正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的所有棱長(zhǎng)都為4，D為的CC₁中點(diǎn)．
（1）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（2）求二面角A-A₁D-B的余弦值．

Answer 1

分析：（1）通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積

a

•

b

=0?

a

⊥

b

，即可證明AB₁⊥平面A₁BD；
（2）利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答：（1）證明：取BC中點(diǎn)O，連接AO，∵△ABC為正三角形，∴AO⊥BC，
∵在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，∴AO⊥平面BCC₁B₁，
取B₁C₁中點(diǎn)為O₁，以O(shè)為原點(diǎn)，

OB

，

OO1

，

OA

的方向?yàn)閤，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，
則B(2，0，0)，D(-2，2.0)，A1(0，4，2

3

)，A(0，0，2

3

)，B1(2，4，0)．
∴

AB1

=(2，4，-2

3

)，

BD

=(-4，2，0)，

BA1

=(-2，4，2

3

)．
∵

AB1

•

BD

=-8+8+0=0，

AB1

•

BA1

=-4+16-12=0．
∴

AB1

⊥

BD

，

AB1

⊥

BA1

，
∴AB₁⊥面A₁BD．
（2）設(shè)平面A₁AD的法向量為

n

=(x，y，z)，

AD

=(-2，2，-2

3

)，

AA1=

(0，4，0)．

n

⊥

AD

，

n

⊥

AA1

，
∴

n • AD =0 n • AA1 =0

，∴

-2x+2y-2 3 z=0 4y=0

，⇒

y=0 x=- 3 z

，
令z=1，得

n

=(-

3

，0，1)為平面A₁AD的一個(gè)法向量，由（1）知AB₁⊥面A₁BD，
∴

AB1

為平面A₁AD的法向量，cos＜

n

，

AB1

＞=

n • AB1

| n || AB1 |

=

-2 3 -2 3

2×4 2

=-

6

4

，
由圖可以看出：二面角A-A₁D-B是銳角．
∴二面角A-A₁D-B的余弦值為

6

4

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握：通過建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系的方法，利用數(shù)量積與垂直的關(guān)系證明線面垂直；利用兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角．