Question

19．設坐標原點為O，已知過點（0，$\frac{1}{2}$）的直線交函數(shù)y=$\frac{1}{2}$x²的圖象于A、B兩點，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的值為（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． $\frac{4}{3}$
• C． -$\frac{3}{4}$
• D． -$\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 設出直線的點斜式方程，直線方程和函數(shù)$y=\frac{1}{2}{x}^{2}$聯(lián)立消去y會得到關(guān)于x的方程，用求根公式求出該方程的解，從而得出A，B兩點的坐標，進而得到向量$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐標，進行數(shù)量積的坐標運算即可．

解答 解：設過點（0，$\frac{1}{2}$）直線的斜率為k，則方程為：$y=kx+\frac{1}{2}$；
如圖，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$得：x²-2kx-1=0；
解得$x=k-\sqrt{{k}^{2}+1}$，或$k+\sqrt{{k}^{2}+1}$；
∴$A（k-\sqrt{{k}^{2}+1}，{k}^{2}-k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）$，B（$k+\sqrt{{k}^{2}+1}，{k}^{2}+k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}$）；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=-1+（{k}^{2}-k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）（{k}^{2}+k\sqrt{{k}^{2}+1}+\frac{1}{2}）$=$-1+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$．
故選C．

點評 考查通過解直線和曲線方程形成的方程組來求出直線和曲線交點的方法，一元二次方程的求根公式，向量坐標和點的坐標的關(guān)系，以及數(shù)量積的坐標運算．