Question

已知點的序列A_n（x_n，0），n∈N^*，其中x₁=0，x₂=

1

2

，A₃是線段A₁A₂的中點，A₄是線段A₂A₃的中點，…，A_n是線段A_n-2A_n-1（n≥3）的中點，
（1）寫出x_n與x_n-1，x_n-2之間的關(guān)系式（n≥3）；
（2）設(shè)a_n=x_n+1-x_n，求{a_n}的通項公式．

Answer 1

考點：數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，可得x_n與x_n-1、x_n-2之間的關(guān)系式，
（2）根據(jù)a_n=x_n+1-x_n的通項公式，構(gòu)造一個等比數(shù)列，從而可求{a_n}的通項公式．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，A_n是線段A_n-2A_n-1的中點，則根據(jù)中點坐標(biāo)公式有當(dāng)n≥3時，xn=

xn-2+xn-1

2

．
（2）∵a_n=x_n+1-x_n=

xn-1+xn

2

-x_n=

xn-1-xn

2

，
∴x_n+1-x_n=-

1

2

（x_n-x_n-1），
即數(shù)列{a_n}是公比為-

1

2

的等比數(shù)列，首項a₁=x₂-x₁=

1

2

，
∴a_n=

1

2

•(-

1

2

)n-1=-(-

1

2

)n（n∈N₊）．

點評：本題主要考查求數(shù)列的通項公式，利用構(gòu)造法是解決本題的關(guān)鍵，難度較大．