Question

求：使

ln(x+1)

x

＜kx²-

1

2

x+1在x＞0的情況下恒成立的k的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：分離參數(shù)可得k＞

2ln(1+x)+x2-2x

2x3

（x＞0），設(shè)F（x）=

2ln(1+x)+x2-2x

2x3

，則F（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減，x→0時(shí)，由羅必塔法則，F(xiàn)（x）→

1

3

，即可求出k的最小值．

解答： 解：分離參數(shù)可得k＞

2ln(1+x)+x2-2x

2x3

（x＞0），
設(shè)F（x）=

2ln(1+x)+x2-2x

2x3

，則F（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減，
∵x→0時(shí)，由羅必塔法則，F(xiàn)（x）→

1

3

，
∴k≥

1

3

，
∴使

ln(x+1)

x

＜kx²-

1

2

x+1在x＞0的情況下恒成立的k的最小值為

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問(wèn)題，考查分離參數(shù)法的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，x→0時(shí)，由羅必塔法則，F(xiàn)（x）→

1

3

是關(guān)鍵．