Question

設(shè)f（x）=

(x+a)lnx

x+1

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若?x∈[1，+∞），f（x）≤m（x-1）恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，即可求a的值；
（Ⅱ）先將原來的恒成立問題轉(zhuǎn)化為lnx≤m（x-

1

x

）．設(shè)g（x）=lnx-m（x-

1

x

），即x＞1時(shí)，g（x）≤0恒成立，利用導(dǎo)數(shù)研究g（x）在（1，+∞）上單調(diào)性，求出函數(shù)g（x）的范圍，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

(x+a)lnx

x+1

的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

[lnx+ x+a x )(x+1)-(x+a)lnx

(x+1)2

則在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=

2(1+a)

4

，
由于在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線2x+y+1=0垂直，
則f′（1）=

1

2

，即

1+a

2

=

1

2

，
故a=0；
（Ⅱ）由于f（x）=

xlnx

x+1

，
當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=0，m（x-1）=0不等式f（x）≤m（x-1）成立，
當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）≤m（x-1）即為lnx≤m（x-

1

x

）．
設(shè)g（x）=lnx-m（x-

1

x

），即x＞1時(shí)，g（x）≤0恒成立，
g′（x）=

1

x

-m（1+

1

x2

）=

-mx2+x-m

x2

①若m≤0時(shí)，g′（x）＞0，則g（x）在x＞1上遞增，即有g(shù)（x）＞0，矛盾；
②若m＞0，-mx²+x-m=0的判別式△=1-4m²，
當(dāng)△≤0時(shí)，即m≥

1

2

，g′（x）≤0，即g（x）在x＞1上遞減，g（x）＜g（1）=0成立，
當(dāng)△＞0時(shí)，即0＜m＜

1

2

時(shí)，方程-mx²+x-m=0的根x₁=

1- 1-4m2

2m

＜1，x₂=

1+ 1-4m2

2m

＞1．
當(dāng)1＜x＜x₂時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在x＞1上遞增，g（x）＞g（1）=0矛盾．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是：[

1

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查不等式的恒成立問題，轉(zhuǎn)化為構(gòu)造函數(shù)應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性解決，屬于中檔題．